1단계: 순서 조건
일대일대응은 \(4!=24\)개이고, \(f(1)\)과 \(f(2)\)를 맞바꾸는 대응으로 \(f(1)\lt f(2)\)인 것과 \(f(1)\gt f(2)\)인 것이 짝지어지므로 \(24\div2=12\)개이다.

2단계: \(f(3)\ne3\) 추가
\(f(3)\ne3\)인 일대일대응은 \(3\times3!=18\)개이다. \(f(1), f(2)\)를 맞바꾸어도 \(f(3)\)은 변하지 않으므로 같은 짝짓기에 의하여 \(18\div2=\mathbf{9}\)개이다.

3단계: 일반 함수
\(f(1)\lt f(2)\lt f(3)\)이 되도록 \(X\)에서 서로 다른 세 값을 택하는 방법은 \({}_4\mathrm{C}_3=4\)가지이고 크기 순으로 배정된다. \(f(4)\)는 \(4\)가지이므로 \(4\times4=\mathbf{16}\)개이다.

최종 정답: (1) \(12\) (2) \(9\) (3) \(16\)

1단계: \(\cos x\)에 대한 이차식
\(\sin^2x=1-\cos^2x\)를 대입하면 \(-2\cos^2x+3\cos x-1=0\), 즉 \((2\cos x-1)(\cos x-1)=0\)이다.

2단계: 방정식의 해
\(\cos x=1\)에서 \(x=0\), \(\cos x=\frac12\)에서 \(x=\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\)이므로 모든 해의 합은 \(\mathbf{2\pi}\)이다.

3단계: 부등식의 해
부등식은 \((2\cos x-1)(\cos x-1)\le0\), 즉 \(\frac12\le\cos x\le1\)이다. 따라서 \(0\le x\le\frac{\pi}{3}\) 또는 \(\frac{5\pi}{3}\le x\lt2\pi\)이고 길이의 합은 \(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\mathbf{\frac{2\pi}{3}}\)이다.

최종 정답: (1) \(2\pi\) (2) \(0\le x\le\frac{\pi}{3}\) 또는 \(\frac{5\pi}{3}\le x\lt2\pi\), 길이 \(\frac{2\pi}{3}\)

1단계: 접선과 교점
접선은 \(y=3t^2x-2t^3\)이다. \(x^3-3t^2x+2t^3=(x-t)^2(x+2t)=0\)이므로 \(\mathrm{Q}(-2t, -8t^3)\)이다.

2단계: 넓이
\(-2t\le x\le t\)에서 \((x-t)^2(x+2t)\ge0\)이므로 곡선이 접선보다 위에 있다. 제시문 [나]에 \(\alpha=-2t, \beta=t\)를 적용하면 \(S(t)=\dfrac{(3t)^4}{12}=\dfrac{27}{4}t^4\)이다.

3단계: \(t\)의 값
\(\dfrac{27}{4}t^4=108\)에서 \(t^4=16\)이고 \(t\gt0\)이므로 \(t=\mathbf{2}\)이다.

최종 정답: (1) \(\mathrm{Q}(-2t,-8t^3)\) (2) \(S(t)=\frac{27}{4}t^4\) (3) \(t=2\)

1단계: 일반항
\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)이므로 \(\{a_n+1\}\)은 첫째항 \(2\), 공비 \(2\)인 등비수열이다. 따라서 \(a_n=2^n-1\)이다.

2단계: 수학적 귀납법
(i) \(n=1\): 좌변 \(1\), 우변 \(4-1-2=1\). (ii) \(n=m\)일 때 성립한다고 가정하면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}a_k=2^{m+1}-m-2+2^{m+1}-1=2^{m+2}-(m+1)-2\)이므로 \(n=m+1\)일 때도 성립한다.

3단계: 최솟값
\(n=8\)일 때 \(512-10=502\), \(n=9\)일 때 \(1024-11=1013\gt1000\)이고 합은 증가하므로 최솟값은 \(\mathbf{9}\)이다.

최종 정답: (1) \(a_n=2^n-1\) (2) 증명 (3) \(9\)